확률론 (불확실성의 수학과 응용)

 

 

확률론이란?

확률론은 수학의 다른 분야와 같이 공리를 바탕으로 연역적으로 추론되며, 이를 확률의 공리라고 합니다. 확률의 공리는 다음과 같습니다.

-모든 사건 A에 대해 0≤P(A)≤1이다. 즉, 확률은 0과 1 사이의 값을 가진다.
-표본 공간 S에 대해 P(S)=1이다. 즉, 확실한 사건의 확률은 1이다.
-서로 배반인 사건들의 집합 {Ai​}에 대해 P(⋃i=1∞​Ai​)=∑i=1∞​P(Ai​)이다. 즉, 배반 사건들의 합집합의 확률은 각 사건의 확률의 합과 같다.

 

확률의 공리를 통해 다양한 확률적 개념과 정리를 유도할 수 있습니다. 예를 들어, 다음과 같은 개념과 정리들이 있습니다.

 

-조건부 확률: 어떤 사건 B가 일어났을 때, 다른 사건 A가 일어날 확률을 P(A∣B)라고 하며, 다음과 같이 정의된다.

-독립: 두 사건 A와 B가 서로 영향을 미치지 않는다면, 독립이라고 하며, 다음과 같은 성질을 만족한다.

 

-베이즈 정리: 조건부 확률과 독립을 이용하여 다음과 같은 정리를 유도할 수 있다.

 

-전체 확률의 법칙: 배반인 사건들로 이루어진 분할 {Bi​}에 대해 다음과 같은 법칙이 성립한다.

 

-큰 수의 법칙: 독립인 시행에서 어떤 사건 A가 일어난 비율은 시행 횟수가 많아질수록 사건 A의 확률에 가까워진다는 법칙이다.

-중심극한정리: 독립인 시행에서 얻은 값들의 평균은 시행 횟수가 많아질수록 정규분포에 가까워진다는 정리이다.

 

 

어떤 의미와 응용이 있나?

확률론은 수학의 기본적인 분야로, 다른 수학적 분야와의 연관성도 높습니다. 예를 들어, 해석학, 대수학, 기하학, 미분방정식 등의 분야에서 확률론적인 개념과 기법을 사용할 수 있습니다. 또한, 확률론은 통계학의 수학적 기초로, 통계적 추론과 모델링에 필수적입니다.

확률론은 물리학, 공학, 컴퓨터 과학, 생물학, 경제학, 심리학 등 다양한 자연과학과 사회과학의 분야에도 응용될 수 있습니다. 예를 들어, 다음과 같은 응용들이 있습니다.

 

-양자역학: 미시계의 물리적 현상은 확률론적인 본질을 갖고 있으며, 양자역학은 확률론적인 방법으로 이를 기술한다.

-암호학: RSA 암호와 같은 공개키 암호는 큰 소수를 이용하여 암호화와 복호화를 수행하며, 확률론은 큰 소수를 찾는데 도움을 준다.

-인공지능: 인공신경망과 같은 기계학습의 방법은 확률론적인 모델링과 최적화에 기반한다.

-유전학: 유전자의 변이와 진화는 확률론적인 과정으로 설명할 수 있으며, 유전자의 분석과 예측에 확률론을 사용할 수 있다.

-게임이론: 게임이론은 전략적 상호작용을 모델링하는 이론으로, 확률론은 게임의 결과와 평형을 분석하는데 필요하다.

 

확률론은 우리가 살아가는 세상에서 발생하는 다양한 현상들을 수학적으로 이해하고 예측하고 의사결정하는 데에 도움을 줍니다. 확률론은 우리가 자연에서 발견하는 규칙과 무작위성 사이의 균형을 보여주는 흥미로운 분야입니다.

 

 

확률론의 역사는?

확률론은 다른 수학 분야들보다 늦게 이론화되었습니다. '확률’이라는 개념은 주사위 놀이와 같은 도박에서부터 시작되었으나, 중세에는 도박을 불경스럽고 악마의 도구라고 여겼습니다. 확률론의 탄생은 17세기에 파스칼과 페르마가 드 메레의 주사위 문제와 분배 문제를 풀었을 때로 생각되며, 이때 오간 편지들은 확률론의 기초가 되었습니다.

이후 확률론은 연금과 보험 제도의 발달과 함께 발전하였으며, 다양한 수학적 기법과 분야와 연결되었습니다. 예를 들어, 콜모고로프는 확률론의 기초를 닦았으며, 콜모고로프와 두브, 펠러, 프레셰, 레비, 되블린 등은 확률 과정이라는 개념을 발전시켰습니다. 확률론은 현재까지도 수학과 과학의 중요한 분야로 남아있습니다.