오일러 공식 : 수학적 아름다움

 

 

 

오일러 공식은 다음과 같이 표현됩니다.

여기서 e는 자연상수, i는 허수단위, x는 실수이며, cosx와 sinx는 삼각함수입니다. 이 공식은 복소수 지수를 정의하는 데에 출발점이 되며, 복소평면에서 단위원을 뜻합니다.
오일러 공식은 1714년 로저 코츠가 처음 발견하였으나, 1748년 레온하르트 오일러가 무한급수의 좌우 극한값이 같음을 증명하면서 발표되었습니다. 그러나 로저와 오일러 모두 이 공식이 지닌 '복소수를 복소평면 위의 하나의 점으로 볼 수 있다’는 기하학적 의미를 눈치채지는 못하였고, 이것은 약 50년이 지난 후에나 발견되었습니다.
오일러 공식에 x에 π를 대입하면 다음과 같은 특수한 경우가 됩니다.

이 식은 오일러의 등식이라고 부르며, 수학에서 가장 아름다운 등식으로 유명합니다. 왜냐하면 이 식은 다섯 가지 중요한 상수 (e, i, π, 0, 1)와 세 가지 기본 연산 (+, =, ×)을 하나의 간결한 식으로 표현하기 때문입니다.

 

오일러 공식의 유도

오일러 공식은 여러 가지 방법으로 유도할 수 있습니다. 여기서는 네 가지 방법을 소개하겠습니다.

 

 

테일러 급수를 이용한 방법

테일러 급수에 따라 실수 범위에서 다음의 식이 성립합니다.

 

이때 x가 복소수일 때에 앞의 무한급수를 각각의 함수로 정의한다면, 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

 

이 식을 i의 거듭제곱에 따라 정리하면 다음과 같습니다.

 

 

따라서 오일러 공식이 성립합니다.

 

 

미분 계산을 이용한 방법

함수 f(x)=eix를 정의하면, 다음이 성립합니다.

즉, f(x)는 자신을 미분하면 상수 i를 곱한 값이 되는 함수입니다. 이러한 함수는 다음과 같은 일반적인 형태를 가집니다.

여기서 C는 상수입니다. 이제 초기 조건 f(0)=1을 사용하여 C의 값을 구해보겠습니다. x=0을 대입하면,

 

따라서 f(x)=eix입니다. 이제 오일러 공식을 증명하기 위해 다음과 같이 삼각함수의 합차공식을 사용하겠습니다.

 

위 식에서 마지막 줄은 삼각함수의 합차공식에 따라 성립합니다. 따라서 오일러 공식이 성립합니다.

 

 

미적분을 이용한 방법

다음과 같은 복소수 z를 생각해보겠습니다.

양변을 x에 대해 미분하면 다음과 같습니다.

이때 i2=−1이므로,

즉, z′는 z에 상수 i를 곱한 값과 같습니다. 이제 양변을 적분해보겠습니다.

여기서 C1​과 C2​는 적분 상수입니다. 양변에서 z를 빼면,

이 식을 만족하는 유일한 해는 C1​=C2​=0입니다. 왜냐하면 복소수에서는 실수부와 허수부가 독립적으로 움직이기 때문에, 실수부와 허수부가 모두 0이 되어야만 합니다.