삼각법 (수학의 실용적인 도구와 다양한 응용)

 

 

삼각법이란 무엇인가?

삼각법은 삼각형의 변과 각 사이의 관계를 연구하는 수학의 한 분야입니다. 삼각법은 고대부터 천문학, 항법, 측량, 공학 등 다양한 분야에서 적용되어 왔으며, 현재에도 컴퓨터 그래픽스, 암호학, 음향학 등에서 활용됩니다.

삼각법의 핵심 개념은 삼각비와 삼각함수입니다. 삼각비는 직각삼각형에서 한 각과 그에 대응하는 변들의 비율을 나타내는 값입니다. 삼각비에는 사인(sin), 코사인(cos), 탄젠트(tan), 코탄젠트(cot), 시컨트(sec), 코시컨트(csc) 등이 있습니다. 예를 들어, 직각삼각형 ABC에서 각 A에 대한 사인은 다음과 같이 정의됩니다.

여기서 a는 A에 대한 높이(직각변), c는 A에 대한 빗변(대변)입니다.

삼각함수는 삼각비를 일반화한 함수입니다. 삼각함수는 각도를 입력으로 받아서 삼각비와 같은 값을 출력합니다. 삼각함수에는 삼각비와 동일한 이름의 함수들이 있습니다. 예를 들어, 사인함수는 다음과 같이 정의됩니다.

여기서 x는 각도, y는 단위원 위의 점의 y좌표, r은 단위원의 반지름(1)입니다.

 

 

삼각법을 이용한 예시

삼각법은 실생활에서 다양한 문제를 해결하는 데 도움이 됩니다. 다음은 삼각법을 이용한 몇 가지 예시입니다.

 

빌딩의 높이 구하기: 빌딩과 수평선을 이루는 거리와 빌딩 꼭대기까지의 각도를 알고 있다면, 삼각법을 이용하여 빌딩의 높이를 구할 수 있습니다. 예를 들어, 빌딩과 수평선을 이루는 거리가 100m이고 빌딩 꼭대기까지의 각도가 30도라면, 다음과 같이 빌딩의 높이를 구할 수 있습니다.

 

빌딩 꼭대기까지의 각도에 대한 탄젠트는 다음과 같습니다.

높이를 구하려면 양변에 100을 곱해주면 됩니다.

탄젠트 30도의 값은 약 0.577이므로, 높이는 약 57.7m입니다.

 

사다리의 길이 구하기: 벽과 수평선을 이루는 거리와 사다리와 벽이 이루는 각도를 알고 있다면, 삼각법을 이용하여 사다리의 길이를 구할 수 있습니다. 예를 들어, 벽과 수평선을 이루는 거리가 5m이고 사다리와 벽이 이루는 각도가 60도라면, 다음과 같이 사다리의 길이를 구할 수 있습니다.

사다리와 벽이 이루는 각도에 대한 사인은 다음과 같습니다.

길이를 구하려면 양변에 길이를 곱하고 5로 나눠주면 됩니다.

사인 60도의 값은 약 0.866이므로, 길이는 약 5.77m입니다.

반지름의 길이 구하기: 원의 중심각과 호의 길이를 알고 있다면, 삼각법을 이용하여 반지름의 길이를 구할 수 있습니다. 예를 들어, 원의 중심각이 45도이고 호의 길이가 10m라면, 다음과 같이 반지름의 길이를 구할 수 있습니다.

중심각과 호의 길이의 관계식은 다음과 같습니다.

반지름을 구하려면 양변에 2π반지름을 곱하고 호의길이로 나눠주면 됩니다.

값을 대입하면 다음과 같습니다.

계산하면 반지름은 약 12.73m입니다.

 

 

삼각법을 공부하는 이유

삼각법은 수학에서 매우 중요하고 유용한 분야입니다. 삼각법을 공부하면 다음과 같은 장점이 있습니다.

*기하학적 도형을 분석할 수 있습니다. 삼각법을 이용하면 삼각형뿐만 아니라 원, 타원, 다각형 등 다양한 기하학적 도형의 성질과 관계를 파악할 수 있습니다. 예를 들어, 삼각함수를 이용하면 원주율 π와 자연상수 e 사이에 성립하는 오일러 공식 eiπ+1=0을 유도할 수 있습니다.

*복잡한 함수를 단순화할 수 있습니다. 삼각법을 이용하면 복잡한 함수를 삼각함수의 합으로 표현할 수 있습니다. 이를 푸리에 변환(Fourier transform)이라고 합니다. 푸리에 변환은 신호 처리, 음향학, 이미지 처리 등에서 널리 사용됩니다.

*실생활 문제를 해결할 수 있습니다.