베르누이의 정리 (확률 이론과 응용의 핵심 개념)

 

 

베르누이의 정리란 무엇인가?

베르누이의 정리는 유체가 흐르는 속도와 압력, 높이 사이의 관계를 나타내는 법칙입니다. 유체가 빠르게 흐르면 압력이 낮아지고, 느리게 흐르면 압력이 높아집니다. 유체가 높은 곳에서 낮은 곳으로 흐르면 위치에너지가 운동에너지로 바뀌고, 반대로 낮은 곳에서 높은 곳으로 흐르면 운동에너지가 위치에너지로 바뀝니다. 이러한 원리는 유체의 에너지 보존을 나타냅니다.

베르누이의 정리는 1738년에 스위스의 수학자 다니엘 베르누이가 그의 저서 《유체역학》에서 발표하였습니다. 이 정리는 점성과 압축성이 없는 이상적인 유체가 규칙적으로 흐르는 경우에만 적용됩니다. 실제 유체는 점성과 압축성을 가지므로, 베르누이의 정리를 적용할 때는 주의해야 합니다.

 

 

베르누이의 정리의 수학적 형태

베르누이의 정리를 수학적으로 표현하면 다음과 같습니다.

여기서,
* p는 유체의 압력
* ρ는 유체의 밀도
* v는 유체의 속도
* g는 중력가속도
* h는 기준면으로부터의 높이
* C는 상수
입니다.

위 식은 유선 상에서 모든 점에서 성립합니다. 즉, 유선 상에서 유체의 압력, 속도, 높이가 달라져도, 그들의 합은 일정하다는 의미입니다. 이 합을 동압력(dynamic pressure)과 정압력(static pressure)으로 나누어서 생각할 수 있습니다.

여기서,

* p0​는 전압력(total pressure) 또는 정체압력(stagnation pressure)
* p는 정압력(static pressure)
* (2/1)​ρv^2는 동압력(dynamic pressure)
입니다.

위 식은 전압력은 일정하다는 것을 나타냅니다. 즉, 유체의 속도가 증가하면 동압력이 증가하고 정압력이 감소하고, 반대로 유체의 속도가 감소하면 동압력이 감소하고 정압력이 증가합니다.

 

 

베르누이의 정리의 예시

베르누이의 정리는 다양한 현상을 설명하거나 응용할 수 있습니다. 몇 가지 예시를 들어보겠습니다.

* 비행기 날개: 비행기 날개의 단면은 하부보다 상부가 볼록한 모양입니다. 이 때 상부를 흐르는 공기는 하부보다 거리가 길어지므로 속도가 빨라집니다. 따라서 상부의 압력은 하부보다 낮아집니다. 이렇게 압력차가 발생하면 날개를 위로 밀어주는 힘이 생기는데, 이를 양력이라고 합니다. 양력은 비행기가 공중에 떠오를 수 있게 해줍니다.

 

* 벤츄리 관: 벤츄리 관은 한쪽이 좁고 다른 쪽이 넓은 관입니다. 유체가 좁은 쪽을 통과할 때 속도가 빨라지므로 압력이 낮아집니다. 따라서 넓은 쪽과 좁은 쪽의 압력차가 발생합니다. 이 압력차를 이용하면 다른 유체나 기체를 흡입하거나 분사할 수 있습니다. 예를 들어, 진공청소기나 농약살포기 등이 있습니다.

 

* 마그누스 효과: 마그누스 효과는 회전하는 물체가 공기와 상호작용할 때 발생하는 힘입니다. 예를 들어, 공을 회전시키면서 던지면 공이 궤적을 그리며 날아갑니다. 이는 공의 회전 방향에 따라 공의 한쪽 면에는 공기의 속도가 빨라지고 다른 쪽 면에는 공기의 속도가 느려지기 때문입니다. 따라서 한쪽 면의 압력은 낮아지고 다른 쪽 면의 압력은 높아지므로, 공에는 압력차에 의한 힘이 작용합니다. 이 힘은 공의 회전축에 수직인 방향으로 작용하며, 공을 궤적으로 이탈하게 만듭니다.