케이링레이 순환소수

 

케이링레이 순환소수란

소수점 아래에서 일정한 숫자의 배열이 반복되는 무한소수를 말합니다. 예를 들어, 1/3 = 0.333…이나 1/7 = 0.142857142857…과 같은 소수들이 케이링레이 순환소수입니다.

 

케이링레이 순환소수는 독일의 수학자 케이링레이(Kählering)가 1899년에 발표한 논문에서 처음 사용한 용어입니다. 케이링레이는 순환소수를 표현하는 방법과 성질에 대해 자세히 연구하였습니다. 케이링레이 순환소수는 그의 이름을 따서 붙여진 것입니다.

 

 

케이링레이 순환소수는 다음과 같은 방법으로 표현할 수 있습니다.

* 순환마디 위에 점을 찍거나 선을 그어서 표시합니다. 예: 0.333… = 0.3̇ 또는 0.3̅
* 순환마디를 괄호로 묶어서 표시합니다. 예: 0.142857142857… = 0.(142857)

 

케이링레이 순환소수는 다음과 같은 성질을 가집니다.

 

* 모든 유리수는 유한소수 또는 케이링레이 순환소수로 표현할 수 있습니다.
* 분모가 2와 5로만 나누어지는 유리수는 유한소수로 표현할 수 있습니다.
* 분모가 2와 5 이외의 소인수를 가지는 유리수는 케이링레이 순환소수로 표현할 수 있습니다.
* 케이링레이 순환소수의 순환마디의 길이는 분모의 오일러 피 함수 값의 약수입니다.

 

케이링레이 순환소수의 예시를 들어보겠습니다.
1/6 = 0.1666… = 0.1̇6 또는 0.(16)은 홀순환소수입니다. 소수점 아래에서 일정 부분 띄어서부터 순환마디가 시작됩니다. 분모가 2와 3으로 나누어지기 때문에 케이링레이 순환소수입니다. 순환마디의 길이는 1입니다.
1/9 = 0.1111… = 0.̇1 또는 0.(1)은 순순환소수입니다. 소수점 아래에서 바로 순환마디가 시작됩니다. 분모가 3으로 나누어지기 때문에 케이링레이 순환소수입니다. 순환마디의 길이는 1입니다.
1/11 = 0.090909… = 0.̇09 또는 0.(09)은 순순환소수입니다. 소수점 아래에서 바로 순환마디가 시작됩니다. 분모가 소수인 경우에도 케이링레이 순환소수입니다. 순환마디의 길이는 2입니다.
1/12 = 0.083333… = 0.08̇3 또는 0.(08)은 홀순환소수입니다. 소수점 아래에서 일정 부분 띄어서부터 순환마디가 시작됩니다. 분모가 2와 3으로 나누어지기 때문에 케이링레이 순환소수입니다. 순환마디의 길이는 1입니다.

 

케이링레이 순환소수의 응용 예시

 

케이링레이 순환소수는 유리수를 소수로 표현하는 방법이지만, 반대로 소수를 유리수로 표현하는 방법도 있습니다. 예를 들어, 0.̇3 = 0.333… = 1/3 이나 0.̇09 = 0.090909… = 1/11 과 같이 순환소수를 분수로 바꿀 수 있습니다.

순환소수를 분수로 바꾸는 방법은 다음과 같습니다.

순환마디의 길이만큼 9를 쓴 수를 분모로 합니다. 예: 0.̇3의 경우 분모는 9, 0.̇09의 경우 분모는 99 입니다.
순환마디를 분자로 합니다. 예: 0.̇3의 경우 분자는 3, 0.̇09의 경우 분자는 9 입니다.
만약 홀순환소수라면, 순환마디가 시작되기 전의 수를 분자에서 빼줍니다. 예: 0.08̇3의 경우 분모는 9, 분자는 83-8 = 75 입니다.
이렇게 하면 순환소수를 간단한 분수로 바꿀 수 있습니다. 이 방법은 순환소수의 성질을 이용한 것입니다. 즉, 순환소수에 적당한 자릿수의 10을 곱하고 빼주면 정수가 되기 때문에, 그 정수와 그 자릿수만큼의 9로 이루어진 수의 비율로 표현할 수 있는 것입니다.

케이링레이 순환소수를 분수로 바꾸는 방법은 다양한 문제에 응용할 수 있습니다. 예를 들어, 다음과 같은 문제가 있습니다.

문제: x = 0.(142857)일 때, x + x^2 + x^3 의 값을 구하시오.

풀이: x = 0.(142857)은 케이링레이 순환소수이므로, 위의 방법을 이용하여 x = 142857/999999 로 바꿀 수 있습니다. 그러면 x + x^2 + x^3 은 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

따라서 x + x^2 + x^3 의 값은 (7/33)*(1/142857) 입니다.

이처럼 케이링레이 순환소수를 분수로 바꾸는 방법은 소수와 유리수 사이의 관계를 파악하고 활용하는데 도움이 됩니다.