에르미트 카레토리 정리 (이론, 예시) [복소 행렬의 대각화]

 

 

 

에르미트 카레토리 정리는 복소 행렬의 대각화에 관한 중요한 정리입니다. 이 정리는 에르미트 행렬이나 유니터리 행렬과 같은 특별한 종류의 복소 행렬들이 어떻게 대각화 가능한지를 설명합니다. 에르미트 행렬이란 자신의 켤레 전치와 같은 행렬을 말하고, 유니터리 행렬이란 자신의 켤레 전치와 역행렬이 같은 행렬을 말합니다. 이러한 행렬들은 복소 벡터 공간에서의 내적과 관련이 있습니다.

에르미트 카레토리 정리는 다음과 같이 서술할 수 있습니다.

▶어떤 복소 행렬 A가 에르미트 행렬이면, A는 유니터리 행렬 U에 의해 대각화 가능하다. 즉, U-1AU=D로 나타낼 수 있으며, D는 A의 고윳값들로 이루어진 대각행렬이다.

▶어떤 복소 행렬 A가 유니터리 행렬이면, A도 유니터리 행렬 U에 의해 대각화 가능하다. 즉, U-1AU=D로 나타낼 수 있으며, D는 A의 고윳값들로 이루어진 대각행렬이다. 단, 이때 D의 대각 성분들은 모두 크기가 1인 복소수이다.

이 정리를 증명하기 위해서는 켤레 전치와 수반 연산자라는 개념을 알아야 합니다. 켤레 전치란 복소 행렬의 각 성분에 켤레를 취하고 전치를 한 것을 말합니다. 수반 연산자란 내적 공간에서 선형 연산자 T에 대해 다음을 만족하는 선형 연산자 S를 T의 수반 연산자라고 합니다.

 

< S ( x), y > = < x, T ( y) >

 

수반 연산자의 행렬 표현은 원래의 선형 연산자의 행렬 표현에 켤레 전치를 취한 것과 같습니다. 즉, [T†]β=[T]†β입니다.

 

에르미트 카레토리 정리의 예시로 다음과 같은 에르미트 행렬을 보겠습니다.

 

A = [ 2 3 − 3i 3 + 3i 5 ]

이 행렬은 자신의 켤레 전치와 같으므로 에르미트 행렬입니다. 이제 이 행렬을 대각화하기 위해 고윳값과 고유벡터를 구해보겠습니다.

 

det ( A − λI) = [ 2 − λ 3 − 3i 3 + 3i 5 − λ ] = ( λ − 8) ( λ + 1)

 

고윳값은 λ1=8, λ2=−1입니다. 각 고윳값에 대응하는 고유벡터는 다음과 같습니다.

λ1=8일 때, x1=[1,1+i]T λ2=−1일 때, x2=[1−i,−1]T

이제 이 고유벡터들을 열벡터로 갖는 유니터리 행렬 U를 구할 수 있습니다. U의 열벡터들은 정규화되어야 하므로, 다음과 같이 정규화합니다.

u1=1/√3[x1] u2=1/√3[x2]

그러면 U는 다음과 같습니다.

U = 1/√3 [ 1 1 − i 1 + i −1 ]

이제 A를 U에 의해 대각화할 수 있습니다.

U-1AU=D

여기서 D는 고유값들로 이루어진 대각행렬입니다.

D = [ 8 0 0 −1 ]

따라서 A는 다음과 같이 대각화됩니다.

A = UDU†

이것이 에르미트 카레토리 정리의 예시입니다. 이 정리는 복소 행렬의 대각화에 있어서 유용하게 사용됩니다. 에르미트 행렬과 유니터리 행렬은 복소 벡터 공간에서의 내적을 보존하는 성질을 가지므로, 복소 벡터 공간에서의 기하학적 변환에도 응용될 수 있습니다.