로그함수 (이론, 성질, 예시, 그래프)

 

 

로그함수는 지수함수의 역함수로, 어떤 수를 고정된 밑으로 몇 번 곱해야 하는지를 나타내는 함수입니다. 예를 들어, y = log2x라는 함수는 x를 2로 몇 번 곱해야 y가 되는지를 나타냅니다. 즉, x = 2y와 같은 의미입니다.

로그함수는 수학, 과학, 엔지니어링 등 다양한 분야에서 활용됩니다. 예를 들어, 로그함수는 지진의 강도, 소리의 크기, 산성도 등을 측정하는 데 사용됩니다.

 

로그함수의 그래프는 y = x에 대하여 지수함수의 그래프와 대칭이며, y축이 점근선입니다. 밑이 1보다 큰 경우에는 증가하는 곡선이고, 밑이 1보다 작은 경우에는 감소하는 곡선입니다.

 

 

로그함수의 그래프를 그리려면 다음과 같은 방법을 사용할 수 있습니다.

 

1. 밑과 진수를 바꾸어 지수방정식으로 만듭니다.
2. 지수방정식을 풀어 x와 y의 좌표를 구합니다.
3. 좌표를 그래프에 표시하고 점들을 연결합니다.

 

예를 들어, y = log2x의 그래프를 그리려면 다음과 같이 합니다.

1. y = log2x를 x = 2y로 바꿉니다.
2. x = 2y를 풀어 x와 y의 좌표를 구합니다.

예를 들어, y = 0일 때 x = 1, y = 1일 때 x = 2, y = -1일 때 x = 0.5 입니다.
좌표를 그래프에 표시하고 점들을 연결합니다.

y = log2x의 그래프는 다음과 같습니다.

 

 

로그함수는 다음과 같은 성질을 가집니다.

● logb(xy) = logb(x) + logb(y)
● logb(x/y) = logb(x) - logb(y)
● logb(x^n) = nlogb(x)
● logb(b) = 1
● logb(1) = 0
● loga(x) = logb(x) / logb(a)
이러한 성질을 이용하면 로그함수를 간단하게 변형하거나, 방정식을 풀거나, 다른 밑으로 바꾸거나 할 수 있습니다.

 

 

예를 들어, 다음과 같은 문제들을 풀어보겠습니다.
log2(8x) - log2(4x) = 1을 풀어 x를 구하시오.
log2(8x) - log2(4x) = 1
log2(8x/4x) = 1
log2(2) = 1
x = 2

 

로그함수는 매우 유용하고 흥미로운 함수입니다. 로그함수는 다른 함수와 결합하여 새로운 함수를 만들 수 있습니다. 예를 들어, 지수함수와 로그함수를 결합하면 로그-지수함수라는 함수를 만들 수 있습니다. 로그-지수함수는 y = alogb(x)의 형태를 가지며, a와 b는 양의 상수입니다. 로그-지수함수는 다음과 같은 특징을 가집니다.

● x가 양의 무한대로 갈 때, y도 양의 무한대로 갑니다.
● x가 음의 무한대로 갈 때, y는 a에 수렴합니다.
● x가 0에 가까워질 때, y는 음의 무한대로 갑니다.
● y축이 점근선이 아닙니다.

로그-지수함수의 그래프를 그리려면 다음과 같은 방법을 사용할 수 있습니다.
● x와 y의 좌표를 구합니다. 예를 들어, x = 0일 때 y = -∞, x = 1일 때 y = a, x = b일 때 y = ab 입니다.
● 좌표를 그래프에 표시하고 점들을 연결합니다.

예를 들어, y = 2log3(x)의 그래프를 그리려면 다음과 같이 합니다.
● x와 y의 좌표를 구합니다. 예를 들어, x = 0일 때 y = -∞, x = 1일 때 y = 2, x = 3일 때 y = 6 등입니다.
● 좌표를 그래프에 표시하고 점들을 연결합니다.
y = 2log3(x)의 그래프는 다음과 같습니다.